Так как количества притекающего и отходящего тепла не равны между собой, то в выделенном элементе йхйу йг будет, например, накапливаться тепло йС±х, величина которого может быть найдена как разность всего подведенного и отведенного тепла в направлении оси X за время й(:

йО_х = 9* йу йг аЧ — дх+^х йуйгаЧ = —йдх йу йгМ = = —Ц~ йх йу йг аЧ.

Аналогично рассуждая в отношении тепловых потоков по координатным направлениям Ки Z, выведем выражения для йО_у и йО_г:

й(2у — — -дЦ йу йх йг й(;

йО_г ±= — —-йгйхйу йЬ.

' Поскольку общее накопление тепла в объеме йх йуйг равно сумме накоплений по всем трем направлениям, то

йа и - йх йу. (IV. 1 з)

Подставляя в выражение (IV. 13) значения дх, ду, дг, полученные из уравнения (IV. 6):

, 6Т, ВТ, дТ

Як = ~кхТх' Яу ~ ~КуТу; д*--А*"5'

будем иметь

1 -йц,—ьл, и и+1 {-■• щ) +

Если принять, что рассматриваемое тело изотропно, т. е. имеет одинаковую теплопроводность по всем направлениям, а также, что теплопроводность, теплоемкость и плотность не зависят от Т, то можно считать ЯЛ = %у — Я2 = X и вывести К за знак дифференциала. Тогда ■уравнение (^.14) примет вид

Щ ~ Х (I? +1? + 0) йх *У йг№. 15)

в" Это количестве тепла повысит температуру элементарного объема йхйуйг на величину йТ — ^~ Ш, в связи с чем его можно выразить как произведение объема, теплоемкости и приращения температуры:и,

аЪ^йхйцйгфЦ^М. '(IV. 16)

Приравнивая правые части равенств (IV. 15) и (IV. 16), а также сокращая на йх йу йг й(, получим

. (д2Т д2Т д*Т\ дТ „'. , _

Дифференциальное выражение

д?Т , ,РТ Ох2 + ду2 дг2

называют оператором Лапласа. Оно представляет собой - сумму вторых частных производных от функции температуры Т = = Т (х, у, г, () по осям X, У, Z. Для упрощения записывают это выражение в виде

дх2 ^ ду2 т дг2 у Тогда

% = ±Ч*Т, или % =ау2Г.(IV. 18)

Отношение теплопроводности "к к объемной теплоемкости су называют коэффициентом температуропроводности а, см?/сек. Он характеризует скорость выравнивания температуры.

В дальнейшем будем принимать коэффициент а не зависящим от температуры. В действительности он зависит от нее довольно сильно, но учет этого фактора усложняет соотношения (IV. 16) — (IV. 18), приводя к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Частные случаи уравнения теплопроводности. Уравнение теплопроводности (IV. 18) выведено для общего случая распространения тепла. Для некоторых способов сварки общее уравнение теплопроводности можно значительно упростить. Рассмотрим примеры такого упрощения:

I. В тонкой пластине температурное поле можно отнести к плоской системе координат, так как температура равномерно распределена по толщине пластины и не зависит от координаты г, т. е.

^ = 0. Тогда уравнение теплопроводности приобретает вид

2. В длинном тонком стержне, трубе и других подобных деталях температура может быть распределена по поперечному сечению равномерно и не зависеть от у и г, т. е.

ду и' дг и-