условия выберем ге же, что и в предыдущем случае. Интенсивность источника, т. е. количество тепла, приходящееся на единицу

длины, примем равной ?,. Тогда ф, = у кал/см, где / — длина

прямой, по которой распределено тепло.

В этом случае тепло распространяется равномерно во все стороны от источника тепла. Изотермическими поверхностями будут цилиндры с общей осью 1, т. е. температура не зависит от координаты г. Тогда решение дифференциального уравнения теплопроводности

(1У.20)

где /? — расстояние от исследуемой точки А до источника тепла ;Я=у"хТ^Гу^\ остальные обозначения — те же, что и в предыдущей формуле. Мгновенный плоский источник. Если в тело неограниченных размеров тепло внесено мгновенно и распределено по некоторой плоскости равномерно, то распространение его будет происходить только в обе стороны от этой плоскости перпендикулярно к ней и, подчиняться единому закону.

Для этого случая справедливо дифференциальное уравнение (IV. 186). Учтя граничные условия и приняв интенсивность источника тепла Эг — ^ кал!см2, где С — общее количество тепла, введенного источником, а Г — площадь, на которой это тепло распределилось, можно решить уравнение (IV. 186), в результате чего получить выражение для Т (х, 1)\

Рис. 57. К выводу уравнения распространения в бесконечном теле тепла от мгновенного линейного источника.

В этом выражении х—расстояние от исследуемой точки до плоскости источника тепла. Так как температура точек тела не зависит от координат у и г, то для любых точек тела с координатой х в данный момент времени она есть величина постоянная.

Изотермические поверхности будут представлять собой в этом случае плоскости, параллельные плоскости источника тепла.

Принцип наложения. Мы рассмотрели идеализированные мгновенные источники тепла простейших форм: точечный, линейный

и плоский. На самом деле нам придется иметь дело с источниками, непрерывно действующими более или менее продолжительное время и распространенными в большем или меньшем объеме.

Для расчета процессов распространения тепла от реальных источников воспользуемся принципом наложения элементарных решений. Сущность его состоит в том, что температура от совместного действия совокупности распределенных в пространстве или времени источников принимается равной сумме температур от действия каждого отдельного источника. Допустимость принципа наложения, или принципа независимости действия источников, проверена опытом. Пользуясь этим принципом, можно представить реальный источник любой формы как совокупность сосредоточенных источников (точечных, линейных и плоских), а непрерывно действующий источник — как совокупность мгновенных источников, соответственно распределенных по времени действия источника. Просуммировав решения для каждого элементарного мгновенного источника, найдем решение для источника любой формы, действующего любое время. При пользовании принципом наложения коэффициенты теплофизических свойств материала А, су, о. принимают постоянными, не зависящими от температуры.

Распределенный по объему источник (выравнивание начального распределения температур). Применим принцип наложения для отыскания закона выравнивания начального распределения температуры.

Пусть в некоторый момент времени I — 0, который мы примем за начало отсчета, в бесконечном теле распределение тепла описывается функцией Т0 (х, у, г). В произвольной точке А этого тела (рис. 58) выделим элементарный объем йх'йу'йг'. Температуру точки А' в начальный момент можно будет найти, если в выражение Т0 (х, у, г) для начальной температуры подставить координаты х', у', г' точки.

Поскольку выделенный бесконечно малый объем имеет некоторое количество тепла йС1, то можно считать его мгновенным точечным источником. Количество тепла, заключенное в таком объеме, определим умножением этого объема на теплоемкость и температуру:

(К± = йх' йу' йг' стГ0 {х', у', г').(1У22)

Эго тепло, независимо от наличия других тепловых источников, будет распространяться как от точечного мгновенного источника

Рис. 58. К выводу уравнения распространения в бесконечном теле тепла от распределенного по объему источника.