в бесконечном теле. Поэтому приращение температуры любой прот извольной точки Ах (х, у, г) бесконечного тела при действии элементарного точечного источника в любой момент времени найдем по формуле (IV. 19):

dT(x. у, z, 0= —^Чгге iat ■

Здесь R' — расстояние от источника тепла (элементарного объема с координатами х', у', г'), выделенного вблизи точки А', до произвольной точки тела А.к с текущими координатами х, у, z. Как видно из рис. 58,

(R'f = (х - x'f + (у - у'? + (г - z'f.

На точку Ах с координатами х, у, z действует не только выделенный элементарный источник, но, в соответствии с принципом наложения, и все другие элементарные объемы тела, рассматриваемые как отдельные источники тепла. Поэтому температура в точке Ах будет суммой всех температур, возникающих в ней в результате действия отдельных элементарных объемов:

Т (х, у, г, I) = \dT (х,у, z, t). (IV.22а) v

Но поскольку

dT(x,y,z,t)= dQ е, (IV.226)

с-| (4тшг) 12

то, учтя выражение (IV.22), получим 1 г

Т(х, у, z, t) = тт^т^ J *', У''г') dx' dy' dz' е ™ , (IV.23)

где интегрирование производится по всему объему тела.

Аналогичные рассуждения можно провести и для линейных и плоских мгновенных источников.

. Непрерывно действующие сосредоточенные источники. Чтобы вывести зависимости распространения тепла при действии непрерывных сосредоточенных источников, воспользуемся известными выражениями для мгновенных источников тепла. Используя принцип наложения, представим процесс непрерывного введения тепла в нагреваемое тело как сумму мгновенных внесений бесконечно малых порций тепла dQ через очень малые промежутки времени dt.

Пусть в течение времени f непрерывно действует тепловой источник мощностью q (t) нал/сек (рис. 59). Разобьем все время действия источника / на бесконечно малые отрезки времениctf, через которые в тело вносится мгновенная порция тепла. Тогда в некоторый произ-

с? [4тш — С)]а/2'

Чтобы найти температуру, достигнутую в результате совместного действия всех элементарных источников за время г, нужно просуммировать все приращения температур по принципу наложения:

вольный момент времени t' элементарное количество тепла, введенное через интервал времени си",

dQ = q (Г) dt'.

Это количество тепла, сообщенное телу в момент времени t'y будем считать элементарным мгновенным источником тепла. Тепло от выбранного элементарного источника, который возник в момент времени t', будет распространяться по телу не все время г, а лишь его часть /—г.

Приращение температуры в любой точке тела с текущими координатами х, у, z можно найти по одной из формул для мгновенных источников тепла (IV. 19) — (IV.21) в зависимости от того, какой источник действует — точечный, линейный или плоский. Так, для точечного источника по формуле (IV. 19) имеем

dT [х, у, г, (г — 01 =

е Aa(t-f) _

t'

t-Y

Рис. 59. К выводу уравнения распространения в бесконечном от непрерывно дей-сосредоточенного

теле тепла ствующего источника.

Т (х, у, z, t) = j" dt (х, y,z,t — t').

Подставив выражения (IV. 19), получим

dT [х, у, z, (t — t')] и dQ в формулу

T(x,y,z,t)= f-

с? [4тсс( — t')]'

(IV.24)

§ 23. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННОМ ТЕЛЕ

Условия теплопередачи на поверхности ограниченного тела искажают распределение тепла по сравнению с теми законами, которые выведены для тела неограниченного. Учет граничных условий передачи тепла можно произвести с помощью искусственного приема — введения фиктивных источников.

Выведем уравнения для температуры любой точки полубесконечного тела, имеющего различные условия теплообмена на границе и начальную температуру, равную нулю.