стержня и что волновой фронт
остается плоским, т. е. поперечные сечения в процессе движения не
искажаются. Такое предположение не дает существенной ошибки, если
поперечные размеры стержня не превышают 1/я длины
волны в материале стержня. В толстых стержнях поперечное движение
приводит к неравномерному распределению напряжений по поперечному
сечению, что вызывает искажение плоских поперечных сечений. Вследствие
этого уменьшается скорость распространения продольных волн в
стержне.
Для стержня переменного
сечения, в котором возбуждены гармонические продольные колебания,
уравнение собственных форм колебаний имеет следующий
вид:
(IV.1)где а — смещение; S —
площадь поперечного сечения; k — волновое число,
равное
(IV.2JНиже приведены значения
плотности р, модуля Юнга Е и скорости
продольных волн с в стержне для
некоторых материалов, используемых при изготовлении элементов
колебательной системы в ультразвуковых установках для сварки полимерных
материалов:
р, Мг/мЗ е,
МПа г,
м/с
Алюминий ...... 2,7 7
100 5 080
Алюминиевый сплав AM Г .
. 2,6 — 5 200
Сталь 45 ......... 7,8 21
000 5 150—5 175
Сталь ЗОХГСА....... —
— 5 200
Титановый
сплав
ВТ-1 ......... 4,55 11
300 5 072
ОТ4......... — — 5141
ВТЗ-1 ........ — — 5 178
ВТ 4......... — — 5 130
Никель 111, 112
...... 8,9 17 700 5 090
Ллы[н-р
К) 12 . ........ 6,7 — 4
750
Ю-14......... 6,05 — 5 075
Пермеидюр
К49Ф2 ........ 8,15 21
800 5 200
К50Ф2........ 8,29 — 5 100
К65 ......... 8,25 — 5 000
К70 ......... — — 5 000
Пермаллой........ 8,25 — 4 100
Решение уравнения (IV. 1)
зависит от закона изменения площади поперечного сечения стержня по
длине. Рассмотрим некоторые частные случаи, имеющие практическое
значение для расчета элементов акустической головки ультразвуковых
машин, предназначенных лля сварки полимерных материалов.
Стержни постоянного сечения
(рис. IV.3, а).
Для таких стержней S{x) — = const и
уравнение собственных форм (IV. 1) принимает вид:
(IV.3)Решение этого уравнения
приводит к уравнению частот стержня постоянного сечения со свободными
концами:
(IV.4) 
