Напряжения в произвольном
сечении можно найти, разделив выражение для колебательной силы на
площадь:
(IV.23)
Отсюда координата опасного сечения равна:
(IV.24)
Сравнивая последние
выражения, видим, что в экспоненциальном стержне узел смещения и опасное
сечение располагаются симметрично относительно геометрического центра
стержня.
В заключение вернемся к
условиям (IV. 1С)
и (IV. 17) для критической частоты. Как уже отмечалось,
колебания с частотами ниже критической не могут распространяться в
стержне. Однако условие / ^ /кр оказывается недостаточным.
Это объясняется тем, что активная составляющая входного сопротивления
экспоненциального стержня для бегущей волны связана с критической и
рабочей частотами следующим соотношением [180J:
(IV.25)
Если подкоренное выражение
заметно отличается от единицы, то входное сопротивление будет
существенно зависеть от показателя сужения Ь. Так как
экспоненциальный стержень, например волновод, соединен с другими
элементами колебательной системы, имеющими другое значение Ь, то за счет
разницы входного и выходного сопротивлений двух стыкуемых стержней в месте
стыка будет происходить отражение энергии. Чтобы этого не произошло,
частота должна существенно превышать критическую. Рекомендуется [175]
рабочую частоту выбирать из условия [ > 1
5 /|<р.
Экспоненциальные стержни в
ультразвуковых сварочных установках используются в основном в
качестве инструментов-волноводов. В зависимости от формы и материала
свариваемых изделий они могут быть круглыми (точечными), ножевыми или
трепанообразными.
Резонансная длина любого из
этих волноводов может быть найдена с помощью номограммы (см. рис.
IV.4). Для этого необходимо на вертикальной левой оси найти скорость
звука с в
материале волновода и из этой точки провести горизонтальную линию яо
пересечения с наклонной линией, соответствующей заданной рабочей частоте
/. Далее из точки пересечения проводится вертикальная линия до
пересечения с «направляющей прямой» (диагональная прямая), затем
горизонтальная линия до пересечения с прямой, соответствующей
отношению Sx/S2 —
d2/dh После этого необходимо возвратиться на
«направляющую прямую» и провести горизонтальную линию до пересечения
g-осью
на которой находится искомая длина волновода. Например,
найдем длину полуволнового экспоненциального точечного волновода, у
которого с= 5
IО3
м/с. f = 21,5 кГц,
5,/S2 = 50. Ход решения отмечен на рис. IV.4 пунктирной
линией 2.
Получаем /р =
136,75 мм.
Для облегчения расчетов при
построении профиля точечного волновода можно пользоваться номограммой,
приведенной на рис. IV.6. Сплошные линии, исходящие из начала
координат, соответствуют отношению £ = х//р; пунктирные
параллельные линии соответствуют заданному диаметру входа d\. Для построения
профиля необходимо на левой вертикальной оси найти заданное отношение
диаметров ку =
djd2 и провести горизонтальную линию так,
чтобы она пересекла все наклонные сплошные линии |. Далее из полученных
точек пересечения проводим вертикальные линии до пересечения с
пунктирной линией, соответствующей заданному диаметру входа d-y, а затем
возвращаемся на левую вертикальную ось, где находим величину диаметра
dx,
соответствующую